Question

13．已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）＞7的解集；
（2）若实数m，n＞0，且f（x）的最小值为m+n，求m²+n²的最小值，并指出此时m，n的值．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为m+n=3，再利用基本不等式求得m²+n²的最小值，以及此时m，n的值．

解答 解：（1）原不等式f（x）＞7等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{2x-1＞7}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{3＞7}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x＞7}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x＞4；解②求得x∈∅；解③求得x＜-3，
综上所述，不等式f（x）＞7的解集为{x|x＞4，或x＜-3}．
（2）依题意函数f（x）=|x-2|+|x+1|≥|x-2-（x+1）|=3，可知f（x）的最小值为m+n=3，
∴（m+n）²=9=m²+n²+2mn≤2（m²+n²），∴m²+n² ≥$\frac{9}{2}$，当且仅当m=n=$\frac{3}{2}$时，取等号，
∴m²+n²的最小值为$\frac{9}{2}$，此时，m=n=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式、基本不等式的应用，属于中档题．