Question

如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，

.
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

，

本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力



解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.
OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故.
（2）CE是平面与平面的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是.
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.
因（0，，），平面的法向量为.则有，所以.
（2），.
设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则
设所求二面角为，则.