Question

已知在△ABC中，AB=4，AC=2，若|λ

AB

+（2-2λ）

AC

|的最小值是2，则对于△ABC内一点P，则

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：|λ

AB

+（2-2λ）

AC

|=

λ2 AB 2+(2-2λ)2 AC 2+2λ(2-2λ) AB • AC

=4

(2-2cosA)λ2+(2cosA-2)λ+1

=f（λ）．当cosA=0时，f（λ）=4

2λ2-2λ+1

≥2

2

，舍去．当cosA≠0时，f（λ）
=4

(2-2cosA)(λ- 1 2 )2+ 1+cosA 2

≥4

1+cosA 2

=2，解得A=

2π

3

．如图所示建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C(-1，

3

)．设P（x，y），可得

PA

•（

PB

+

PC

）=2(x-

3

4

)2+2(y-

3

4

)2-

3

2

，即可得出．

解答： 解：|λ

AB

+（2-2λ）

AC

|=

λ2 AB 2+(2-2λ)2 AC 2+2λ(2-2λ) AB • AC

=

16λ2+4(2-2λ)2+2λ(2-2λ)×8cosA

=4

(2-2cosA)λ2+(2cosA-2)λ+1

=f（λ）．
当cosA=0时，f（λ）=4

2λ2-2λ+1

=4

2(λ- 1 2 )2+ 1 2

≥2

2

，舍去．
当cosA≠0时，f（λ）=4

(2-2cosA)(λ- 1 2 )2+ 1+cosA 2

≥4

1+cosA 2

=2，解得cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

．
如图所示建立直角坐标系，A（0，0），B（4，0），C(-1，

3

)．
设P（x，y），则

PC

+

PB

=(-1-x，

3

-y)+（4-x，-y）
=(3-2x，

3

-2y).

PA

=(-x，-y)．
∴

PA

•（

PB

+

PC

）=（-x，-y）•(3-2x，

3

-2y)
=-x（3-2x）-y（

3

-2y）
=2(x-

3

4

)2+2(y-

3

4

)2-

3

2

≥-

3

2

，
当x=

3

4

，y=

3

4

时（此时点P在△ABC内部）取得最小值-

3

2

．
故答案为：-

3

2

．

点评：本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．