Question

7．（Ⅰ）求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0垂直的直线方程．
（Ⅱ）关于x，y表示的直线l的方程为mx+y-2（m+1）=0，求坐标原点O到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （I）设要求的直线方程为x-3y+m=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，可得交点P，把交点P的坐标代入方程x-3y+m=0，解得m，进而得出．
（II）直线l的方程为mx+y-2（m+1）=0，化为：m（x-2）+（y-2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，可得直线恒过定点A（2，2），因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|．

解答 解：（I）设要求的直线方程为x-3y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y-3=0}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，可得交点$（-\frac{3}{5}，-\frac{7}{5}）$，
把交点代入方程x-3y+m=0，可得$-\frac{3}{5}-3×（-\frac{7}{5}）$+m=0，解得m=-$\frac{18}{5}$．
所求直线的方程为：x-3y-$\frac{18}{5}$=0，化简得5x-15y-18=0．
（II）直线l的方程为mx+y-2（m+1）=0，
化为：m（x-2）+（y-2）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，
∴直线恒过定点A（2，2），
因此坐标原点O到直线l的最大距离d=|OA|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了两条相互垂直的直线斜率之间的关系、直线经过定点问题、点到直线的距离公式、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．