Question

15．正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：
①点H是△A₁BD的垂心；②AH垂直平面CB₁D₁；
③AH=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；④点H到平面A₁B₁C₁D₁的距离为$\frac{3}{4}$．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据正方体AC₁的棱长为1，AH⊥平面A₁BD，逐一分析四个命题的真假，可得答案．

解答 解：∵正方体AC₁的棱长为1，AH⊥平面A₁BD，
∴①点H是△A₁BD的垂心，正确；
②AH垂直平面CB₁D₁，正确；
③AH=$\frac{1}{3}$AC₁=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，正确；
④点H到平面A₁B₁C₁D₁的距离为$\frac{2}{3}$，错误．
故选：C．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方休的几何特征，直线与平面的位置关系等知识点，难度中档．