Question

如图，过抛物线C₁：x²=2py（p＞0）上第一象限内的点P作C₁的切线，依次交抛物线C₂：x²=-2py于点Q，R，过Q，R分别作C₂的切线，两条切线交于点M．
（1）若点P的坐标为（p，

p

2

），且过抛物线C₁：x²=2py上的点P的切线点（1，0），求抛物线C₁的方程；
（2）在（1）的条件下，（i）证明：点M在抛物线C₁上；
（ii）连接MP，是否存在常数λ，使得S_△PQM=λS_△MQR？若存在，求出满足条件的常数λ，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用导数的几何意义和点斜式可得切线的方程，把点（1，0）代入即可得出p；
（2）（i）设点M，Q，R的坐标分别是（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂），分别得出过点Q的切线方程、过点R的切线方程，把直线QR的方程与抛物线方程联立可得根与系数的关系，切线方程联立即可得出交点M的坐标，验证即可；
（ii）由（i）可得x1=2

2

-2，x1-x2=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

，即可得出

S△PQM

S△MQR

=

|PQ|

|QR|

=

2-x1

x1-x2

为定值．

解答： 解：（1）由题意，对抛物线C₁求导得y′=

1

p

x，
∴过抛物线C1：x2=2py上的点P(p，

p

2

)的切线过程为y-

p

2

=

p

p

(x-p)，
将（1，0）代入切线方程，解得p=2，
∴抛物线C₁的方程为x²=4y．  
（2）（i）由（1）得抛物线C₂的方程为x²=-4y，
设点M，Q，R的坐标分别是（x₀，y₀），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则过点Q的切线方程为y-y1=-

x1

2

(x-x1)，即y=-

x1

2

x+

x 2 1

4

，
过点R的切线方程为y-y2=-

x2

2

(x-x2)，即y=-

x2

2

x+

x 2 2

4

．  
由（1）知直线QR的方程为y=x-1，由

x2=-4y y=x-1

，得x²+4x-4=0，
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-4，
由

y=- x1 2 x+ x 2 1 4 y=- x2 2 x+ x 2 2 4

，得x0=

x1+x2

2

=-2，
y0=-

x1

2

•

x1+x2

2

+

x 2 1

4

=-

x 2 1 +x1x2

4

+

x 2 1

4

=-

x1x2

4

=1，
即M（-2，1），而（-2）²=4×1，
∴点M在抛物线C₁上．  
（ii）由（i）可得x1=2

2

-2，x1-x2=

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

，
∴

S△PQM

S△MQR

=

|PQ|

|QR|

=

2-x1

x1-x2

=

2-(2 2 -2)

4 2

=

2- 2

2 2

=

2 -1

2

，
即存在满足条件的常数λ=

2 -1

2

，使得S△PQM=

2 -1

2

S△MQR．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系转化为方程联立可得根与系数的关系、导数的几何意义与切线的方程、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．