Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，且当x∈[0，+∞）时f（x）=log_a（

ax+1

m

），（a＞0，a≠1）．
（1）求实数m的值；并求函数y=f（x）在定义域R上的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的结论f（0）=0求出m的值，再由条件和奇函数的性质求出函数y=f（x）在定义域R上的解析式；
（2）利用定义法：取值、作差、变形、定号、下结论证明，对底数a分类讨论，根据指数函数的单调性判断出真数的大小、对数函数的单调性定号．

解答： 解：（1）∵函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f(0)=loga

2

m

=0，∴m=2                       
当x∈（-∞，0）时，则-x∈（0，+∞），
∴f(x)=-f(-x)=-loga

a-x+1

2

                    
即f(x)=

loga ax+1 2 ，x∈[0，+∞) -loga a-x+1 2 ，x∈(-∞，0)

             
（2）设x₁、x₂是区间[0，+∞）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=loga

ax1+1

2

-loga

ax2+1

2

，
当a＞1时，函数y=a^x是增函数，∴

ax1+1

2

＜

ax2+1

2

，
由y

=log

x a

也是增函数得，loga

ax1+1

2

＜loga

ax2+1

2

，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
当0＜a＜1时，函数y=a^x是减函数，∴

ax1+1

2

＞

ax2+1

2

，
由y

=log

x a

也是减函数得，∴loga

ax1+1

2

＜loga

ax2+1

2

，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
综上，都有f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，需要熟练掌握函数奇偶性的性质，以及定义法：取值、作差、变形、定号、下结论证明函数单调性，以及指数函数、对数函数的单调性，注意判断对数的大小转化为判断真数的大小，考查分类讨论思想、转化思想．