Question

已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d（P，l）．
（Ⅰ）求点P（1，1）到线段l：x-y-3=0，（3≤x≤5）的距离d（P，l）；
（Ⅱ）设l是长为2的线段，求点的集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的图形面积；
（Ⅲ）写出到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，并在直角坐标系中作出相应的轨迹．其中l₁=AB，l₂=CD，A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，-2）．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）根据d（P，l）的定义，结合两点间的距离公式和二次函数的性质，即可算出的值d（P，l）．
（Ⅱ）d（P，AB）≤1，即Q在线段AB上时线段PQ长度的最小值不超过1，由此结合点A、B的坐标，利用距离公式即可化简出所求图形的边界曲线方程，结合矩形面积与圆面积公式可得该图形的面积；
（Ⅲ）根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果．

解答： 解：（Ⅰ）设Q（x，x-3）是线段l：x-y-3=0（3≤x≤5）上一点，则
|PQ|=

(x-1)2+(x-4)2

=

2(x- 5 2 )2+ 9 2

，（3≤x≤5）
当x=3时，d（P，l）=|PQ|_最小值=

5

． 
（Ⅲ）点集D由如下曲线围成

l₁：y=1（|x|≤1），l₂：y=-1（|x|≤1），
C₁：（x+1）²+y²=1（x≤-1），C₂：（x-1）²+y²=1（x≥1），
其面积为S=4+π． 
（Ⅲ）利用两点式写出两条直线的方程，AB：x=1，CD：x=-1，
到两条线段l₁，l₂距离相等的点的集合Ω={P|d（P，l₁）=d（P，l₂）}，
根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行，
∴得到到两条线段距离相等的点是y轴非负半轴，抛物线x=

1

4

y2（y≤0，0≤x≤1），直线y=-x-1（x＞1）．
如图所示

点评：本题给出点P到线段l的距离的定义，求实际问题中的距离并讨论相应的曲线方程．着重考查了点到直线的距离公式、二次函数的性质和曲线与方程的化简等知识，属于中档题．