题目内容

1．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）
A．y2=4xB．y2=8xC．y2=3xD．y2=6x

分析 抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1-x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．

解答 解：由题意可知过焦点的直线方程为y=$\sqrt{3}（x-\frac{p}{2}）$，
联立抛物线方程整理可得3x2-5px+$\frac{3}{4}$p2=0，
∴x1+x2=$\frac{5}{3}$p，x1x2=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴|x1-x2|=$\sqrt{\frac{25}{9}{p}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{4}{3}$p，
又|AB|=$\sqrt{1+3}•\frac{4}{3}p$=8求得p=3，
∴抛物线的方程为y2=6x．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，两点间的距离公式的应用．解题的时候注意利用好韦达定理，设而不求，找到解决问题的途径．

练习册系列答案
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A．1B．3C．-3D．0

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