Question

13．已知数列{na_n}的前n项和为S_n，且a_n=2ⁿ，则使得S_n-na_n+1+50＜0的最小正整数n的值为5．

Answer 1

分析 由已知利用错位相减法求得数列{na_n}的前n项和为S_n，代入S_n-na_n+1+50＜0，求解不等式得答案．

解答 解：由a_n=2ⁿ，得a_n+1=2ⁿ⁺¹，
na_n=n•2ⁿ，
则${S}_{n}=1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n-1}+n•{2}^{n}$，
∴$2{S}_{n}=1•{2}^{2}+2•{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n}+n•{2}^{n+1}$，
两式作差得：$-{S}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}={2}^{n+1}-2-n•{2}^{n+1}$，
∴${S}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$，
则由S_n-na_n+1+50＜0，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n•2ⁿ⁺¹+50＜0，
即2ⁿ⁺¹＞52，∴n+1＞5，则n＞4．
∴最小正整数n的值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．