Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF．
（1）求证：直线EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥F-PBE的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD中点G，连接FG，AG，由三角形中位线定理可得FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}DC$，结合已知可得GF=AE，GF∥AE，则四边形AEFG为平行四边形，则EF∥AG，再由线面平行的判定可得直线EF∥平面PAD；
（2）连接DE，解三角形可得DE⊥AB，再由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AB，得到AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB，过D作DH⊥PE于H，可得DH⊥平面PAB，求解直角三角形得到DH．则C到平面PAB的距离可求，进一步得到F到平面PAB的距离，代入棱锥体积公式可得三棱锥F-PBE的体积．

解答 （1）证明：如图，取PD中点G，连接FG，AG，
则FG∥DC，FG=$\frac{1}{2}DC$，
∵底面ABCD为菱形，且E为AB中点，
∴GF=AE，GF∥AE，则四边形AEFG为平行四边形，
则EF∥AG，
∵EF?平面PAD，AG?平面PAD，则直线EF∥平面PAD；
（2）解：连接DE，∵AD=1，AE=$\frac{1}{2}$，∠DAB=60°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AE²+DE²=AD²，即DE⊥AB，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，则AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB，
过D作DH⊥PE于H，∴DH⊥平面PAB，
在Rt△PDE中，PD=1，DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则PE=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴DH=$\frac{1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴C到平面PAB的距离为$\frac{\sqrt{21}}{7}$，则F到平面PAB的距离为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴${V}_{F-PBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{21}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{24}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．