Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=

-2x，0≤x≤ 1 2 2(x-1)， 1 2 ＜x≤1

，g（x）是定义在[-2，2]上的偶函数，当x∈[-2，0]时，g（x）=

-2x-3，-2≤x＜-1 x，-1≤x≤0

，方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的实数根个数分别为a，b，则a+b等于（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：第一步：根据函数f（x）与g（x）的奇偶性分别作出对应的图象；
第二步：由f（g（x））=0及f（x）的图象，得g（x）的值，从而由g（x）的图象得x的值，即得a，由g（f（x））=0及g（x）的图象，得f（x）的值，从而由f（x）的图象得x的值，即得b；
第三步：计算a+b的值．

解答： 解：由f(x)=

-2x，0≤x≤ 1 2 2(x-1)， 1 2 ＜x≤1

，作出f（x）在[0，1]内的图象，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（x）的图象关于坐标原点成中心对称，
由对称性可作出f（x）在[-1，0）内的图象，如图1所示．
由g（x）=

-2x-3，-2≤x＜-1 x，-1≤x≤0

，作出g（x）在[-2，0]内的图象，
∵g（x）是定义在[-2，2]上的偶函数，
∴g（x）的图象关于y轴对称，
由对称性可作出g（x）在（0，2]内的图象，如图2所示．
（1）由方程f（g（x））=0，知g（x）=1，或-1，或0，
当g（x）=1时，x=2或-2；
当g（x）=-1时，x=1或-1；
当g（x）=0时，x=

3

2

，或0，或-

3

2

，
∴a=7．
（2）由g（f（x））=0，知f（x）=-

3

2

（无解），或

3

2

（无解），或0，
当f（x）=0时，x=1或-1或0，∴b=3．
从而a+b=7+3=10．
故答案为D．

点评：1．本题考查了分段函数的解析式，以及函数的奇偶性与图象的关系，函数的零点等，准确作出函数的图象是关键．
2．对于分段函数问题，一般采用分段处理的方式解决．值得注意的是，每段中自变量x的范围至关重要，是首先考虑的问题．