Question

10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=EF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置．
（1）证明：AC⊥HD'；
（2）若$AB=5，AC=6，AE=\frac{5}{4}，OD'=2\sqrt{2}$，求五棱锥D'-ABCEF体积．

Answer 1

分析 （1）证明AC∥EF，通过EF⊥HD，EF⊥HD'，证明AC∥HD'．
（2）利用平行关系，经过计算证明OD′⊥OH，结合AC⊥HD′，AC⊥BD，推出AC⊥平面BHD′，得到AC⊥OD′，求出$EF=\frac{9}{2}$．五边形ABCFE的面积，然后求解五棱锥D'-ABCEF体积．

解答 解：（1）由已知得，AC⊥BD，AD=CD，
又由AE=CF得$\frac{AE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，故AC∥EF，
由此得EF⊥HD，EF⊥HD'，所以AC∥HD'．
（2）由EF∥AC得$\frac{OH}{DO}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{4}$，
由AB=5，AC=6得$DO=BO=\sqrt{A{B^2}-A{O^2}}=4$，
所以OH=1，D'H=DH=3，于是OD′²+OH²=$（2\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}$=9=D′H²，
所以OD′⊥OH，由（1）可知：AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′=H，
所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，
又由OD'⊥OH，AC∩OH=O，所以，OD'⊥平面ABC．
又由$\frac{EF}{AC}=\frac{DH}{DO}$得$EF=\frac{9}{2}$．
五边形ABCFE的面积$S=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{69}{4}$．
所以五棱锥D'-ABCEF体积$V=\frac{1}{3}×\frac{69}{4}×2\sqrt{2}=\frac{{23\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题列出直线与平面垂直的判定定理以及几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力．