Question

16．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左顶点为A，右焦点为F（1，0），过点A且斜率为1的直线交椭圆E于另一点B，交y轴于点C，$\overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{BC}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，连接MO（O为坐标原点）并延长交椭圆E于点Q，求△MNQ面积的最大值及取最大值时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得B点坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，即可求得△MNQ面积的最大值及直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题知A（-a，0），C（0，a），故$B（-\frac{a}{7}，\frac{6a}{7}）$，
代入椭圆E的方程得$\frac{1}{49}+\frac{{36{a^2}}}{{49{b^2}}}=1$，又a²-b²=1，
故a²=4，b²=3，
椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由题知，直线l不与x轴重合，故可设l：x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{-9}{{3{m^2}+4}}$，
由Q与M关于原点对称知，${S_{△MNQ}}=2{S_{△MON}}=|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{12\sqrt{{m^2}+1}}}{{3{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}}}$，
∵$\sqrt{{m^2}+1}≥1$，
∴$3\sqrt{{m^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{m^2}+1}}}≥4$，即S_△MNQ≤3，当且仅当m=0时等号成立，
∴△MNQ面积的最大值为3，此时直线l的方程为x=1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆方程位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的应用，属于中档题．