Question

18．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作斜率为1的直线，分别与渐近线相交于A，B两点，若$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为F₁B的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．

解答 解：设F₁（-c，0），则过F₁作斜率为1的直线为：y=x+c，
而渐近线的方程是：y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得：A（-$\frac{ac}{a+b}$，$\frac{bc}{a+b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$得，B（-$\frac{ac}{a-b}$，-$\frac{bc}{a-b}$），
若$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{2}$，可得A为F₁B的中点，
可得-c-$\frac{ac}{a-b}$=-2•$\frac{ac}{a+b}$，
化为b=3a，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{10}$．
故答案为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意中点坐标公式的合理运用．