设函数f(x)=ex-a(x+1)(e是自然对数的底数.e=2.71828-)．=0.求实数a的值.并求函数f(x)的单调区间,+$\frac{a}{e^x}$.且A(x1.g(x1)).B(x2.g(x2))(x1＜x2)是曲线y=g(x)上任意两点.若对任意的a≤-1.恒有g(x2)-g(x1)＞m(x2-x1)成立.求实数m的取值范围,(3)求证:1n+3n+-+n� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．设函数f（x）=e^x-a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）+$\frac{a}{e^x}$，且A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（x₁＜x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，恒有g（x₂）-g（x₁）＞m（x₂-x₁）成立，求实数m的取值范围；
（3）求证：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜$\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}（n∈{N^*}）$．

分析（1）由f′（x）=e^x-a，f'（0）=0，得a=1，从而f′（x）=e^x-1，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞m，（x₁＜x₂）变形得：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增，从而m≤g′（x）在R上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．
（3）e^x≥x+1，取$x=-\frac{i}{2n}$（i=1，3，…，2n-1）得${（\frac{2n-i}{2n}）^n}≤{e^{-\frac{i}{2}}}$，由此利用累加法能证明${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{1-e}{（2n）^n}$．

解答解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵f′（0）=1-a=0，
∴a=1，∴f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1＞0，得x＞0；由f′（x）=e^x-1＜0，得x＜0，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）．…（6分）
（2）由$\frac{g（{x}_{2}）-g（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞m，（x₁＜x₂）变形得：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，
$g'（x）={e^x}-a-\frac{a}{e^x}≥2\sqrt{{e^x}•（-\frac{a}{e^x}）}-a=-a+2\sqrt{-a}={（\sqrt{-a}+1）^2}-1≥3$，
故m≤3．
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
证明：（3）由（1）知e^x≥x+1，
取$x=-\frac{i}{2n}$（i=1，3，…，2n-1）得，$1-\frac{i}{2n}≤{e^{-\frac{i}{2n}}}$，
即${（\frac{2n-i}{2n}）^n}≤{e^{-\frac{i}{2}}}$，
累加得：${（\frac{1}{2n}）^n}+{（\frac{3}{2n}）^n}+…+{（\frac{2n-1}{2n}）^n}≤{e^{-\frac{2n-1}{2}}}+{e^{-\frac{2n-3}{2}}}+…+{e^{-\frac{1}{2}}}=\frac{{{e^{-\frac{1}{2}}}（1-{e^{-n}}）}}{{1-{e^{-1}}}}＜\frac{{\sqrt{e}}}{1-e}$．
∴${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{1-e}{（2n）^n}$．…（14分）