Question

16．己知函数$f（x）=xlnx-\frac{a}{2}{x^2}$（a∈R），
（Ⅰ） 若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ） 若函数f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0列式求得a，b的值；
（Ⅱ）把f（x）≤0恒成立转化为a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，构造函数g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，利用导数求其最大值得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²，
得f′（x）=lnx-ax+1，
∵切线方程为x+y+b=0，
∴f′（1）=1-a=-1，即a=2．
又f（1）=-$\frac{a}{2}$=-1，可得切点为（1，-1），代入切线方程得b=0；
（Ⅱ） f（x）≤0恒成立等价于a≥$\frac{2lnx}{x}$恒成立，即a≥（ $\frac{2lnx}{x}$）_max，
设g（x）=$\frac{2lnx}{x}$，则g′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．
∴当x=e时，g（x）_max=$\frac{2}{e}$，即a≥$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，重点考查了数学转化等数学思想方法．