Question

8．（1）设α，β为锐角，且$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，求α+β的值；
 （2）化简求值：$sin50°（1+\sqrt{3}tan10°）$．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得 cos（α+β）的值，结合α+β的范围，可得α+β的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值．

解答 解：（1）∵α为锐角，$sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，∴$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；∵β为锐角，$cosβ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，∴$sinβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∵α+β∈（0，π），∴α+β=$\frac{π}{4}$．
（2）$sin50°（1+\sqrt{3}tan10°）$=$\frac{sin50°•（cos10°+\sqrt{3}sin10°）}{cos10°}$=sin50°•$\frac{2cos（60°-10°）}{cos10°}$=$\frac{sin100°}{cos10°}$=1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．