Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足2S_n+a_n=1，数列{b_n}中，b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=

an

bn

，求证：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2S_n+a_n=1，得S_n=

1

2

（1-a_n），由此推导出{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，从而求出a_n．由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*），得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，由此推导出{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，从而求出b_n；
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=n•（

1

3

）ⁿ，设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，由错位相减求和，即可证明结论．

解答： 解．（Ⅰ）由2S_n+a_n=1，得S_n=

1

2

（1-a_n），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

（1-a_n）-

1

2

（1-a_n-1），
∵a_n-1≠0，∴

an

an-1

=

1

3

而S₁=

1

2

（1-a₁），∴a₁=

1

3

∴{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
由b₁=1，b₂=

1

2

，

2

bn+1

=

1

bn

+

1

bn+2

（n∈N^*），
得

1

b1

=1，

1

b2

=2，d=

1

b2

-

1

b1

=1，
∴{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

1

n

．
（2）c_n=

an

bn

=n•（

1

3

）ⁿ，设T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，则
T_n=1•

1

3

+2•（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）ⁿ，

1

3

T_n=1•（

1

3

）²+2•（

1

3

）³+…+n•（

1

3

）ⁿ⁺¹，
由错位相减，化简得：T_n=

3

4

-

2n+3

4

×

1

3n

＜

3

4

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．