Question

已知函数f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

是定义在R上的奇函数，其中y=g（x）为指数函数且过点（2，4）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知f（x）是单调递减函数，若对任意的t∈（0，3]，不等式f（t²+2t-k）+f（-2t²+1）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），把点（2，4）代入求出a，再代入f（x），有奇函数的结论f（0）=0求出m的值，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数的奇偶性和单调性，将原不等式转化为相应自变量的不等式，利用二次函数的性质求出k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），
因为过点（2，4），所以g（2）=4，即a²=4，解得a=2，
则g（x）=2^x，所以f（x）=

m-g(x)

1+g(x)

=

m-2x

1+2x

，
因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，则m-1=0，解得m=1，
则f(x)=

1-2x

1+2x

；
（Ⅱ）由f（t²+2t-k）+f（-2t²+1）＞0得，f（t²+2t-k）＞-f（-2t²+1），
因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（t²+2t-k）＞f（2t²-1），
因为f（x）是单调递减函数，
所以t²+2t-k＜2t²-1对任意的t∈（0，3]恒成立，
即k＞-t²+2t+1=-（t-1）²+2在t∈（0，3]上恒成立，
因为函数y=-（t-1）²+2在t∈（0，3]上最大值是2，
所以k＞2．

点评：本题考查指数函数的解析式，函数的奇偶性、单调性的应用，恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等，属于中档题．