Question

【题目】已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.

（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；

（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线存在，其方程为，定值为.

【解析】

（1）利用抛物线的定义可求得曲线的方程，由题意可得直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得的面积；

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，并设点，求出以为直径的圆的方程，将代入圆的方程，求出弦长的表达式，进而可求得的值，由此可求得直线的方程.

（1）依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，

所以曲线的方程为：.

过点且倾斜角为的直线方程为，

设，，联立，得，

则，，则；

（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，设点，

则以为直径的圆的方程为，

将直线代入，得，

则，

设直线与以为直径的圆的交点为、，

则，，

于是有，

当，即时，为定值.

故满足条件的直线存在，其方程为.