Question

【题目】如图，等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，P是弧AB上一点，且∠PAB=30°.

（1）证明：平面BCP⊥平面ACP；

（2）若Q是弧AP上异于AP的一个动点，当三棱锥C-APQ体积最大时，求二面角A-PQ-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，得到平面APB，从而，又，由线面垂直的判定定理得到平面ACP，再由面面垂直的判定定理证明.

（2）由（1）知平面APB，若三棱锥C-APQ体积最大，则三角形APQ面积最大，此时为的中点，过点A作，连接，得到平面ACE，从而为二面角A-PQ-C的平面角，根据∠PAB=30°，设AC=2，求得AE,CE即可.

（1）因为等腰直角三角形ABC所在的平面与半圆弧AB所在的平面垂直，AC⊥AB，

所以平面APB，又PB平面APB，

所以，又，，

所以平面ACP，又平面BCP，

所以平面BCP⊥平面ACP；

（2）由（1）知平面APB，

所以AC为三棱锥C-APQ的高，设

若三棱锥C-APQ体积最大，则三角形APQ面积最大

当为的中点时，三角形APQ面积最大，

如图所示：

过点A作，连接，

所以平面ACE，

所以为二面角A-PQ-C的平面角，

因为∠PAB=30°.

所以 ，

所以，

所以，

所以.