Question

【题目】已知函数，设.

（Ⅰ）求的极小值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极小值为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出导函数得到，通过判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，通过时和时，判断函数的单调性，求解函数的最值，推出结果即可.

（Ⅰ），，

由题意可知，所以，

当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减，

所以函数在处取得极小值，为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

当时，，

所以函数在上单调递增，所以，

即当时，在恒成立；

当时，，

又，

又由于在上单调递增，在上单调递减.

所以在上一定存在使得，

当时，，当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

所以在存在，使得，

所以当时，在上不恒成立

综上所述，实数的取值范围为.