题目内容
【题目】已知圆
与圆
相外切，且与直线
相切．
（1）记圆心的轨迹为曲线
，求的方程；
（2）过点
的两条直线
与曲线分别相交于点
和
，线段
和
的中点分别为
.如果直线
与
的斜率之积等于1，求证：直线
经过定点．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线定义可知圆心
的轨迹为抛物线，进而可得其轨迹方程.
（2）由题意可设直线
的斜率为
，则直线
的斜率为
，表示出直线
的方程，联立直线与抛物线方程即可求得交点
的坐标，进而以代替点坐标中的，可得点
的坐标；即可表示出直线
的斜率及其方程，进而得所过定点的坐标.
（1）依题意
等于到直线
的距离，
故所求轨迹是以
为焦点，以
为准线的抛物线.
故其轨迹
的方程为.
（2）依题意直线
斜率都存在且均不为
，
故设直线的斜率为，则直线的斜率为.
直线的方程为
，
即为
.
由
消去
整理得
，
所以
，点的坐标为
，
以代替点坐标中的，可得点的坐标为
，
所以直线的斜率
，
所以直线的方程为
，
即
.
故经过定点
.
【题目】“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了A，B两套测试方案，现各抽取
名员工参加A，B两套测试方案的预测试，统计成绩（满分分），得到如下频率分布表．
成绩频率 |
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方案A |
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方案B |
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（1）从预测试成绩在
的员工中随机抽取
人，记参加方案A的人数为
，求的最有可能的取值；
（2）由于方案A的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案A进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩
与绩效等级优秀率
，如下表所示：
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根据数据绘制散点图，初步判断，选用
作为回归方程．令
，经计算得
，
，
．
（ⅰ）若某部门测试的平均成绩为
，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
，求某个部门绩效等级优秀率不低于
的概率为多少？
参考公式与数据：（1）
，
，
．
（2）线性回归方程
中，
，
．
（3）若随机变量
，则
，
，
．
