已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点M.其离心率为$\frac{1}{2}$．(1)求椭圆C的方程,(2)设直线l:y=kx+m(m≠0.|k|≤$\frac{1}{2}$)与椭圆C相交于A.B两点.以线段OA.OB为邻边作平行四边形OAPB.其中顶点P在椭圆C上.O为坐标原点．求m的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（1，$\frac{3}{2}$），其离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m（m≠0，|k|≤$\frac{1}{2}$）与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求m的取值范围．

分析（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，①再将坐标点M（1，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；
（2）对k需要分k=0和k≠0两种情况讨论．其中k=0时，较易求解；k≠0时，需要将椭圆方程和直线方程联立得到关于x的二次方程，在平行四边形OAPB中，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，由此即可得到三点的坐标关系，将丨OP丨=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，用k来表示，由题中k的范围即可确定丨OP丨的取值范围．

解答解：（1）由已知可得：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：3a²=4b²，①
又点M（1，$\frac{3}{2}$），在椭圆C上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$②
由①②解得：a²=4，b²=3；
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴丨OP丨=$\sqrt{3}$，
当k≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去y，化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₀，y₀），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$
则由以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，
∴x₀=x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
由于点P在椭圆C上，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，
从而$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{12{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=1，
化简得：4m²=3+4k²，经检验满足③式，
又丨OP丨=$\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{m}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=$\sqrt{\frac{4{m}^{2}（16{k}^{2}+9）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}+9}{4{k}^{2}+3}}$，
=$\sqrt{4-\frac{3}{4{k}^{2}+3}}$，
由0＜|k|≤$\frac{1}{2}$，
∴3＜4k²+3≤4，则$\frac{3}{4}$≤$\frac{3}{4{k}^{2}+3}$＜1，
故$\sqrt{3}$＜丨OP丨≤$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
综上，丨OP丨的取值范围是[$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{13}}{2}$]．