Question

8．已知数列{a_n}满足s_n=$\frac{n}{2}（{{a_{n+1}}+1}）$且a₁=3，令b_n=$\frac{a_n}{n}$
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，若T_n≤M对?n∈N^•都成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足s_n=$\frac{n}{2}（{{a_{n+1}}+1}）$，利用当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1化为na_n+1-（n+1）a_n+1=0，由于b_n=$\frac{a_n}{n}$，可得a_n=nb_n，代入可得b_n+1-b_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$．即可得出．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{a_n}{n}$=$\frac{2n+1}{n}$．可得a_n=2n+1．c_n=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，即可得出数列{c_n}的前n项和为T_n，利用不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足s_n=$\frac{n}{2}（{{a_{n+1}}+1}）$，
∴当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=$\frac{n}{2}（{{a_{n+1}}+1}）$-$\frac{n-1}{2}（{a}_{n}+1）$，
化为na_n+1-（n+1）a_n+1=0，
∵b_n=$\frac{a_n}{n}$，∴a_n=nb_n，
∴n（n+1）b_n+1-n（n+1）b_n+1=0，
∴b_n+1-b_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n-2}）$+…+$（\frac{1}{2}-1）$+3
=$\frac{1}{n}+2$
=$\frac{2n+1}{n}$．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{a_n}{n}$=$\frac{2n+1}{n}$．
∴a_n=2n+1．
c_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
数列{c_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，
若T_n≤M对?n∈N^•都成立，
∴$M≥\frac{1}{6}$．
∴M的最小值为$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．