Question

18．已知对任意的x≥1，均有lnx-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 化简可得a（x-1）≤xlnx，从而讨论，当x＞1时，化为a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，从而令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，从而化为函数的最值问题．

解答 解：∵ln x-a（1-$\frac{1}{x}$）≥0，
∴ln x-a$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴a（x-1）≤xlnx，
①当x=1时，上式成立；
②当x＞1时，上式可化为a≤$\frac{xlnx}{x-1}$，
令f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，则f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
令g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）在（1，+∞）上是增函数，
故g（x）＞g（1）=1-0-1=0，
故f′（x）＞0，
故f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在（1，+∞）上是增函数，
而$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$f（x）=$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{xlnx}{x-1}$=$\underset{lim}{x→{1}^{+}}$$\frac{lnx+1}{1}$=1，
故a≤1；
综上所述，a≤1．

点评 本题考查了恒成立问题与最值问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．同时考查了洛比达法则的应用．