已知双曲线C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.F1.F2是其左.右焦点.点P为双曲线的右支上一点.点M为圆心.圆M为三角形PF1F2的内切圆.PM所在直线与x轴的交点坐标为(1.0).与双曲线的一条渐近线平行且距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.则双曲线C的离心率是( )A．$\sqrt{5}$B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F₁，F₂是其左、右焦点，点P为双曲线的右支上一点，点M为圆心，圆M为三角形PF₁F₂的内切圆，PM所在直线与x轴的交点坐标为（1，0），与双曲线的一条渐近线平行且距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则双曲线C的离心率是（　　）

A．

$\sqrt{5}$

B．

C．

$\sqrt{2}$

D．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

分析由题意，（1，0）到直线bx-ay=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a，b的关系，即可求出双曲线C的离心率．

解答解：由题意，（1，0）到直线bx-ay=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}a$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$
故选：C．

点评本题考查双曲线C的离心率，正确运用（1，0）到直线bx-ay=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$是关键．