Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$过点P（4，2），且它的渐近线与圆${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，则该双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{12}=1$
• D． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{12}=1$

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$过点P（4，2），且它的渐近线与圆${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$相切，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．

解答 解：由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{|2\sqrt{2}b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{8}{3}}}\end{array}\right.$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选A．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．