Question

已知

a

，

b

是单位向量，

a

•

b

=0．若向量

c

满足|

c

-2

a

-

b

|=1，则|

c

|²的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由

a

，

b

是单位向量，

a

•

b

=0．可设

a

=（1，0），

b

=（0，1）．设

c

=（x，y）．由于向量

c

满足|

c

-2

a

-

b

|=1，可得（x-2）²+（y-1）²=1，其圆心C（2，1），半径r=1．由于|

c

|=

x2+y2

，根据|OC|-r≤|

c

|≤|OC|+r即可得出．

解答： 解：∵

a

，

b

是单位向量，

a

•

b

=0．可设

a

=（1，0），

b

=（0，1）．
设

c

=（x，y）．
∵

c

-2

a

-

b

=（x-2，y-1），向量

c

满足|

c

-2

a

-

b

|=1，
∴

(x-2)2+(y-1)2

=1．
化为（x-2）²+（y-1）²=1，其圆心C（2，1），半径r=1．
∴|OC|=

5

．
|

c

|=

x2+y2

，
由于|OC|-r≤|

c

|≤|OC|+r，
∴|

c

|的取值范围是[

5

-1，

5

+1]．
∴|

c

|²的取值范围是[6-2

5

，6+2

5

]．
故答案为：[6-2

5

，6+2

5

]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、点与圆上的点的距离，考查了推理能力和计算能力，属于难题．