Question

18．已知函数f（x）=（x+k）e^x（k∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）求f（x）在x∈[0，3]上的最小值．
（3）设g（x）=f（x）+f'（x），若对?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]及?x∈[0，2]有g（x）≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（x+k）e^x，求导f′（x）=（x+k+1）e^x，令f′（x）=0，求得x=-k-1，令f′（x）＜0，解得函数的单调递减区间，f′（x）＞0，解得函数的单调递增区间，根据函数的单调性即可求得f（x）的极值；
（2）当-k-1≤0时，f（x）在[0，3]单调递增，f（x）的最小值为f（0）=k，当-k-1≥3时，f（x）在[0，3]单调递减，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e³，当0＜-k-1＜3时，则x=-k-1时，f（x）取最小值，最小值为：-e^-k-1；
（3）由g（x）=（2x+2k+1）e^x，求导g′（x）=（2x+2k+1）e^x，当g′（x）＜0，解得：x＜-k-$\frac{3}{2}$，求得函数的单调递减区间，当g′（x）＞0，解得：x＞-k-$\frac{3}{2}$，求得函数的单调递增区间，由题意可知g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等价于g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，由-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，对?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]恒成立，根据函数的单调性，即可求得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=（x+k）e^x（k∈R），求导f′（x）=（x+k）e^x+e^x=（x+k+1）e^x，
令f′（x）=0，解得：x=-k-1，
当x＜-k-1时，f′（x）＜0，
当x＞-k-1时，f′（x）＞0，

x	（-∞，-k-1）	-k-1	（-k-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	-e-k-1	↑

∴f（x）的单调递增区间（-k-1，+∞），单调递减区间（-∞，-k-1），
∴当x=-k-1，f（x）取极小值，极小值为f（-k-1）=-e^-k-1；
（2）当-k-1≤0时，即k≥-1时，f（x）在[0，3]单调递增，
∴当k=0时，f（x）的最小值为f（0）=k，
当-k-1≥3时，即k≤-4时，f（x）在[0，3]单调递减，
∴当x=3时，f（x）的最小值为f（3）=（3+k）e³，
当0＜-k-1＜3时，解得：1＜k＜4时，
∴f（x）在[0，-k-1]单调递减，在[-k-1，+∞]单调递增，
∴当x=-k-1时，f（x）取最小值，最小值为：-e^-k-1；
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（x+k）e^x+（x+k+1）e^x=（2x+2k+1）e^x，
求导g′（x）=（2x+2k+1）e^x+2e^x=（2x+2k+3）e^x，
令g′（0）=0，2x+2k+3=0，x=-k-$\frac{3}{2}$，
当x＜-k-$\frac{3}{2}$时，g′（x）＜0，
当x＞-k-$\frac{3}{2}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，-k-$\frac{3}{2}$）单调递减，在（-k-$\frac{3}{2}$，+∞）单调递增，
故当x=-k-$\frac{3}{2}$，g（x）取最小值，最小值为：g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，
∵k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]，即-k-$\frac{3}{2}$∈[0，2]，
∴?x∈[0，2]，g（x）的最小值，g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，
∴g（x）≥λ，?x∈[0，2]恒成立，等价于g（-k-$\frac{3}{2}$）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，
由-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$≥λ，对?k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]恒成立，
∴λ≤（-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$）最小值，
令h（k）=-2${e}^{-k-\frac{3}{2}}$，k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]，
由指数函数的性质，函数h（k）在k∈[-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}}$]单调递增，
∴当k=-$\frac{7}{2}$时，h（k）取最小值，h（-$\frac{7}{2}$）=-2e²，
∴λ≤-2e²．
∴实数λ的取值范围（-∞，-2e²）．

点评 本题考查利用到时研究函数的单调性和在闭区间上的最值，考查函数导数的运算，考查转化思想，考查计算能力，属于难题．