Question

13．已知f（x）=（x-m）²，m∈R，且函数f（x）为R上的偶函数．
（1）求m的值；
（2）若方程|f（x）-1|=k恰有三个实根，求这三个实根．

Answer 1

分析 （1）、根据题意，由偶函数的性质可得f（-x）=f（x），即（x-m）²=（-x-m）²，解可得m的值；
（2）、根据题意，由（1）可得函数f（x）的解析式，若方程|f（x）-1|=k恰有三个实根，则函数y=|x²-1|与y=k有三个交点，作出函数y=|x²-1|的图象，分析可得k=1，解方程|x²-1|=1可得答案．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=（x-m）²为R上的偶函数，
必有f（-x）=f（x），即（x-m）²=（-x-m）²，
解可得m=0，
（2）由（1）可得m=0，即f（x）=x²，
若方程|f（x）-1|=k恰有三个实根，则函数y=|x²-1|与y=k有三个交点，
而函数y=|x²-1|如图，
若函数y=|x²-1|与y=k有三个交点，
必有k=1，
对于方程|x²-1|=1，
解可得x=0或x=±$\sqrt{2}$，
即方程|f（x）-1|=k的三个实根为x=0或x=±$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的运用以及方程根个数的判断，涉及函数图象的运用，注意将方程的根的情况转化为函数图象交点的情况进行分析．