Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=-4，S₈=a₈，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 根据条件a₂=-4，S₈=a₈，可解得等差数列的首项和公差，故a_n=2n-8，S_n=n（n-7）．由a_n≤0解得n≤4，即数列{a_n}前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数．对n分类讨论再利用等差数列的前n项和公式即可得T_n．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₈=a₈得8a₁+$\frac{8×（8-1）}{2}$d=a₁+7d，则a₁=-3d．
又a₂=a₁+d=-4，∴d=2，a₁=-6．
∴a_n=-6+（n-1）×2=2n-8，S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n[-6+2（n-4）]}{2}$=n（n-7）．
由a_n≤0解得n≤4，即数列{a_n}前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，T_n=-S_n=n（7-n）=-n²+7n，
当n≥5时，T_n=S_n-S₄+（-S₄）=S_n-2S₄=n（n-7）-2×4×（4-7）=n²-7n+24
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+7n，n≤4}\\{{n}^{2}-7n+14，n≥5}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、绝对值数列，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．