Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）若在区间（0，e）上的最大值为-3，求a的值；
（Ⅲ）当a=1时，判断方程|f_（x）|=

lnx

x

+

1

2

是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，求出f′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

，从而得出x=1是f（x）在定义域（0，+∞）上唯一的极（大）值点，则f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）求出f′(x)=a+

1

x

，讨论①当-

1

a

≥e，②当0＜-

1

a

＜e时的情况，从而求出a的值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=-1时，f（x）_max=f（1）=-1，得出|f（x）|≥1，又令φ(x)=

lnx

x

+

1

2

，得φ(x)≤φ(e)=

1

e

+

1

2

＜1，因此方程无解．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，
∴f′(x)=-1+

1

x

=

1-x

x

当0＜x＜1时，f'（x）＞0；
当x＞1时．f'（x）＜0，
∴x=1是f（x）在定义域（0，+∞）上唯一的极（大）值点，
则f（x）_max=f（1）=-1．
（Ⅱ）∵f′(x)=a+

1

x

，
令f'（x）=0得x=-

1

a

＞0，
①当-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

时，f'（x）≥0，
从而f（x）在（0，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0舍；
②当0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

时，
f（x）在(0，-

1

a

)上递增，在(-

1

a

，e)上递减，
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)，
令-1+ln(-

1

a

)=-3，得a=-e²．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当a=-1时，
f（x）_max=f（1）=-1，
∴|f（x）|≥1，
又令φ(x)=

lnx

x

+

1

2

，
∴φ′(x)=

1-lnx

x2

，
∴φ(x)≤φ(e)=

1

e

+

1

2

＜1，
∴方程无解．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，分类讨论，是一道综合题．