Question

10．（1）已知a、b∈R⁺，且a+b=3，求ab²的最大值．
（2）设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|，求不等式f（x）＞2的解集．

Answer 1

分析 （1）化简得a=3-b，0＜b＜3；从而可得f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），从而求得；
（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）解：∵a，b∈R₊且a+b=3，
∴a=3-b，0＜b＜3；
f（b）=ab²=（3-b）b²=-b³+3b，
f′（b）=-3b²+3=-3（b+1）（b-1），
故f（b）在（0，1）上是增函数，
在（1，3）上是减函数；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x＜-\frac{1}{2}}\\{3x-1，-\frac{1}{2}≤x＜2}\\{x+3，x≥2}\end{array}\right.$，
当x＜-$\frac{1}{2}$时，-x-3＞2，解得：x＜-5，所以x＜-5，
当-$\frac{1}{2}$≤x＜2时，3x-1＞2，解得：x＞1，所以1＜x＜2，
当x≥2时，x+3＞2，解得：x＞-1，所以x≥2，
综上所述，不等式f（x）＞2的解集为（-∞，-5）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．