Question

18．在区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$内任取一点P，求点P落在单位圆x²+y²=1内的概率．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，求出面积，然后求解概率即可．

解答 解：区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}≤0}\\{x-y+\sqrt{2}≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$为△ABC内部（含边界）如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}=0}\\{x-y+\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解得C（0，$\sqrt{2}$），$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{2}=0}\\{y=0}\end{array}\right.$可得A（-$\sqrt{2}$，0），$\left\{\begin{array}{l}{x+y-\sqrt{2}=0}\\{y=0}\end{array}\right.$解得B（$\sqrt{2}$，0）．
单位圆x²+y²=1，半圆的面积为：$\frac{π}{2}$；三角形的面积为：$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2
点P落在单位圆x²+y²=1内的概率为：P=$\frac{S半圆}{S△ABC}$=$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，几何概型的求法，考查计算能力．