Question

17．在△ABC中，若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$c=2\sqrt{5}$，则△ABC的面积等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，C=$\frac{π}{2}$．在R△ABC中，由a²+b²=c²=20，$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，解得：a，b，即可求得△ABC的面积

解答 解：解：∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}$，由正弦定理可得：$\frac{cosA}{cosB}=\frac{sinB}{sinA}$，
即sinAcosA=sinBcosB，
可得sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或C=$\frac{π}{2}$．
又∵$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{2}$，
在R△ABC中，由a²+b²=c²=20，$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，
解得：a=4，b=2
则△ABC的面积等于$\frac{1}{2}ab=4$．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理，三角形面积计算，属于中档题．