Question

7．已知圆C的圆心为原点，且与截直线$x+y+2\sqrt{6}=0$所得弦长等于圆的半径．
（1）求圆C的半径；
（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，是否存在定点M使得直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，直线$x+y+2\sqrt{6}=0$被圆截得的弦长等于圆的半径，利用弦长公式可得答案．
（2）利用切线的性质，OA⊥AP，OB⊥BP，可得A，B在以OP为直径的圆上．设P的坐标，求出OP为直径的圆，利用公共弦的性质，可得AB直线方程，可得定点坐标．

解答 解：（1）由题意，直线$x+y+2\sqrt{6}=0$被圆截得的弦长等于圆的半径，
即圆的半径r=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{1+1}}=4$，即r=4．
∴圆的方程为：x²+y²=16
（2）由题意，AP，BP是圆C的两条切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，
可得A，B在以OP为直径的圆上．
设P的坐标为（8，b），
则线段OP的中点坐标即圆心为（4，$\frac{b}{2}$）．
∴以OP为直径的圆方程为$（x-4）^{2}+（y-\frac{b}{2}）^{2}={4}^{2}+（\frac{b}{2}）^{2}$．
化解可得：x²+y²-8x-by=0．
直线AB为两个圆的公共弦，
∴8x+yb=16．
故得直线恒过（2，0）．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系切线方程问题，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，两圆的公共弦方程问题．熟练掌握此性质是解本题的关键