Question

6．已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R），若存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $a≤-\frac{1}{4}$
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{4}$
• D． a≤2

Answer 1

分析 写出分段函数解析式，构造函数g（x）=f（x）-x，分类求其值域，把存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，转化为存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，则答案可求．

解答 解：f（x）=（x-t）|x|=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+tx，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-tx，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（t-1）x，-1≤x≤0}\\{{x}^{2}-（t+1）x，0＜x≤2}\end{array}\right.$．
当x∈[-1，0]时，g（x）的最小值为g（-1）=-t；
当x∈（0，2]时，∵$\frac{t+1}{2}$∈（0，2），
∴g（x）的最小值为g（$\frac{t+1}{2}$）=$-\frac{（t+1）^{2}}{4}$．
∴若存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，
故只需存在t∈（0，2），使得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{（t+1）^{2}}{4}＞a}\\{-t＞a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤-\frac{1}{4}}\\{a≤0}\end{array}\right.$，
∴实数a的取值范围是a$≤-\frac{1}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，理解题意是关键，属难题．