Question

3．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），圆C₁的极坐标方程为ρ=1，若M为曲线C₂上的动点，且M到定点N的距离等于圆C₁的半径．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若过点P（2，0）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），且直线l与曲线C₂交于A、B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化，直接求解点N的直角坐标为（1，1），求出曲线C₁的直角坐标方程x²+y²=1，然后求解曲线C₂的方程．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+（y-1）²=1，设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，利用韦达定理以及参数的几何意义求解即可．

解答 解：（1）点N的直角坐标为（1，1），曲线C₁：ρ=1，即$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=1$，即x²+y²=1，
曲线C₂表示以N（1，1）为圆心，1为半径的圆，方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）将$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+（y-1）²=1，得${（1-\frac{t}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{3}t}}{2}-1）^2}=1$，
即${t^2}-（1+\sqrt{3}）t+1=0$，设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=1+\sqrt{3}\\{t_1}•{t_2}=1\end{array}\right.$，易知t₁＞0，t₂＞0，
∴$\frac{1}{|PA|}+\frac{1}{|PB|}=\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}|•|{t_2}|}}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}•{t_2}}}=1+\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，曲线的参数方程的几何意义，考查转化思想以及计算能力．