Question

13．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t∈（1，$\sqrt{2}$]；把f（x）化为f（t），利用导数判断单调性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域．

解答 解：x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，
函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx
=$\frac{{sin}^{2}x}{cosx}$+$\frac{{cos}^{2}x}{sinx}$
=$\frac{{sin}^{3}x{+cos}^{3}x}{sinxcosx}$
=$\frac{（sinx+cosx）{（sin}^{2}x-sinxcosx{+cos}^{2}x）}{sinxcosx}$
=$\frac{（sinx+cosx）（1-sinxcosx）}{sinxcosx}$；
令sinx+cosx=t，
则t=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$；
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，t∈（1，$\sqrt{2}$]；
∴f（x）可化为f（t）=$\frac{t（1-\frac{{t}^{2}-1}{2}）}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{3t{-t}^{3}}{{t}^{2}-1}$，
∴f′（t）=$\frac{{-t}^{4}-3}{{{（t}^{2}-1）}^{2}}$＜0，
∴t∈（1，$\sqrt{2}$]时，函数f（t）是单调减函数；
当t=$\sqrt{2}$时，函数f（t）取得最小值f（$\sqrt{2}$）=$\frac{3\sqrt{2}{-（\sqrt{2}）}^{3}}{{（\sqrt{2}）}^{2}-1}$=$\sqrt{2}$，且无最大值；
∴函数f（x）的值域是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值域的应用问题，也考查了换元法以及用导数判断函数的单调性，求最值的应用问题，是难题．