Question

11．椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直线l的极坐标方程2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+9=0．
（1）写出椭圆C的参数方程及直线l的直角坐标方程；
（2）设A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程，消去此时t可得直线l的普通方程；
（2）利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，通过椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，列出方程，即可求点P的坐标．

解答 解：（1）椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为为参数），l：x-$\sqrt{3}$y+9=0．…（4分）
（2）设P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），则|AP|=2-cosθ，
P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ-3sinθ+9|}{2}$=$\frac{2cosθ-3sinθ+9}{2}$．
由|AP|=d得3sinθ-4cosθ=5，又sin²θ+cos²θ=1，得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=-$\frac{4}{5}$．
故P（-$\frac{8}{5}$，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．…（10分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程的应用，点到直线的距离以及两点间距离公式的应用，考查计算能力．