Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=$\frac{1}{2}$BC．
（1）求证：CD⊥平面PBD；
（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ∥平面APD．

Answer 1

分析 （1）证明CD⊥PB，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面PBD；
（2）证明AP∥OQ，即可证明OQ∥平面APD．

解答 证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴PB⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，
∴CD⊥PB，
∵AD=AB=$\frac{1}{2}$BC，∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$AD，BC=2AD，∠DBC=45°，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥BD，
∵PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PBD；
（2）∵AP∥平面BDQ，
∴AP∥OQ，
∵OQ?平面APD，AP?平面APD，
∴OQ∥平面APD．

点评 本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．