题目内容
11．证明下列命题：（1）若实数a≥2，则$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．
分析 （1）由a≥2，分子有理化求得$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，利用不等式的性质，即可得证；
（2）利用“1”代换，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$），展开利用基本不等式的性质可知求得则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．
解答 证明：（1）由a≥2，$\sqrt{a+1}$-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$，
$\sqrt{a-1}$-$\sqrt{a-2}$=$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a-2}$≥0，$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$＞0，
两式相加可得：$\sqrt{a}$+$\sqrt{a+1}$＞$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{a-2}$＞0，
∴$\frac{1}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$＜$\frac{1}{\sqrt{a-1}+\sqrt{a-2}}$，
∴$\sqrt{a+1}-\sqrt{a}＜\sqrt{a-1}-\sqrt{a-2}$；
（2）$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）×（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$＞2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}＞4$．
点评 本题考查不等式的证明，考查不等式的性质及基本不等式的应用，考查推理能力，属于中档题．
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为a正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．
直线x=1，y=x，将圆x2+y2=4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？