Question

11．函数f（x）的定义域为D，如果对于任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=C（C为常数）成立，则称函数y=f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数：
①y=x³
②y=4sinx
③y=lnx
④y=2^x
则在其定义域上均值为2的所有函数是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①③
• D． ①③④

Answer 1

分析 对于函数①y=x³，取任意的x₁∈R，x₂=$\root{3}{4-{{x}_{1}}^{3}}$，可以得到唯一的x₂∈D满足条件；对于函数②y=4sinx，y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立；对于函数③y=lnx，定义域为x＞0，值域为R且单调，存在唯一的x₂∈D，使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立；对于函数④y=2^x，当x₁=3，f（x₁）=8．要使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．

解答 解：对于函数①y=x³，取任意的x₁∈R，$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}}{2}$=2，x₂=$\root{3}{4-{{x}_{1}}^{3}}$，
可以得到唯一的x₂∈D．满足条件，故①成立；
对于函数②y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，
存在无穷个的x₂∈D，使$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立．不满足条件，故②不成立；
对于函数③y=lnx，定义域为x＞0，值域为R且单调，
必存在唯一的x₂∈D，使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立．故③成立；
对于函数④y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．
要使 $\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=2成立，则f（x₂）=-4，不成立，故④不成立．
故选：C．

点评 本题考查均值为2的函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．