Question

1．设常数a∈R，函数f（x）=4^x-a•2^x+1+1，x∈[1，2]．
（1）当a=2时，求函数$g（x）=\frac{1}{f（x）}$的值域．
（2）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质求出函数f（x）的单调区间，从而求出f（x）的值域，求出g（x）的值域即可；
（2）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=（2^x）²-4•2^x+1=（2^x-2）²+3，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
则f（t）=（t-2）²+3，t∈[2，4]，
故f（t）在[2，4]递增，
f（t）的最小值是f（2）=3，f（t）的最大值是f（4）=7，
故g（x）的值域是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$]；
（2）函数f（x）=4^x-a•2^x+1+1=（2^x-a）²+1-a²，x∈[1，2]，
令2^x=t，∵x∈[1，2]，∴2^x∈[2，4]，即t∈[2，4]，
故f（t）=（t-a）²+1-a²，t∈[2，4]，
a≤2时，f（t）在[2，4]递增，
f（t）的最小值是f（2）=（2-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{5}{4}$，符合题意；
2＜a＜4时，f（t）在[2，a）递减，在（a，4]递增，
故f（t）的最小值是f（a）=1-a²=0，
解得：a=±1，不合题意；
a≥4时，f（t）在[2，4]递减，
f（t）的最小值是f（4）=（4-a）²+1-a²=0，
解得：a=$\frac{17}{16}$，不合题意；
综上，a=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，以及函数的单调性、最值问题，是一道中档题．