Question

1．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值为-$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理求得cosA，可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×4×$\frac{7}{8}$=14，再由内角平分线定理，可得AD=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，再由向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．

解答 解：由余弦定理可得cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$
=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，
可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4×4×$\frac{7}{8}$=14，
由BD为∠ABC的平分线，可得
$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{CB}$=$\frac{4}{2}$=2，
AD=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
即有$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AC}$•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$×16-14=-$\frac{10}{3}$．
故答案为：-$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查向量的加减运算和数量积的定义及性质，考查向量的平方即为模的平方，以及内角平分线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．