题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若2cos2
A
2
-2sin2
B
2
=
3
2
，且A＜B，求
c
a
．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式代入求出cosC的值，即可确定出角C的值；
（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的B代入利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而求出C的度数，原式利用正弦定理化简，将sinA与sinC的值代入计算即可求出值．
解答： 解：（Ⅰ）将（a，b）代入直线解析式得：a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
得：a（a-b）+b2=c2，即a2+b2-c2=ab，
由余弦定理得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
，
∵0＜C＜π，
∴C=
π
3
；
（Ⅱ）∵2cos2
A
2
-2sin2
B
2
=1+cosA-1+cosB=cosA+cos（
2π
3
-A）=
1
2
cosA+
3
2
sinA=sin（A+
π
6
）=
3
2
，
∵A+B=
2π
3
，且A＜B，
∴0＜A＜
π
3
，
∴
π
6
＜A+
π
6
＜
π
2
，即A+
π
6
=
π
3
，
∴A=
π
6
，B=
π
2
，C=
π
3
，
则
c
a
=
sinC
sinA
=
3
2
1
2
=
3
．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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A、170B、180
C、190D、200
已知椭圆E的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0），离心率e=
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a=4，b=acosC+
3
3
csinA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当△ABC的周长最大时，求△ABC的面积．
某矿山采煤的单位成本y与采煤量x有关，其数据如下
采煤量
（千吨）		 2 4 5 6 8
单位成本
（元）		 70 50 60 40 30
（1）作出这些数据的散点图．
（2）求出这些数据的回归方程．
已知命题p：?x∈[2，3]，x2-a≥0，命题q：方程
x2
3
+
y2
a-7
=1表示双曲线方程，若￢p为真，p或q为真，求实数a的取值范围．
表面积为144π的球内切于一个圆台（即球与圆台的上、下底面和侧面都相切），如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5，求圆台的表面积和体积．
化简或计算下列各式：
（1）
1
2
-1
-(
3
5
)0+(
9
4
)-0.5+
4(1-
2
)4

（2）(a
2
3
b
1
2
)×(-3a
1
2
b
1
3
)÷(
1
3
a
1
6
b
5
6
)．
设直线L过点A（2，4），它被平行线x-y+1=0与x-y-1=0所截是线段的中点在直线x+2y-3=0上，则L的方程是
 
．

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