Question

已知椭圆E的两个焦点分别为（-1，0）和（1，0），离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m≠0）与椭圆E交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆的焦点坐标，离心率，求出a，c，可求b，即可求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=x+m代入椭圆方程，求出|AB|，|MT|，可得△TAB的面积，配方，即可求出三角形面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x轴上，c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，---（2分）
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1---（4分）
（Ⅱ）y=x+m代入椭圆方程，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直线l与椭圆有两个交点，
∴△＞0，可得m²＜3（*）---（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，
∴弦长|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2 2

3

•

6-2m2

，---（8分）
AB中点M（-

2m

3

，

m

3

），设T（x，0），∴k_AB•k_MT=-1，
∴

m 3

- 2m 3 -x

•1=-1，
∴x=-

m

3

，
∴T（-

m

3

，0），|TM|=

2 |m|

3

---（11分）
∴S=

1

2

|AB||MT|=

2

9

-2(m2- 3 2 )2+ 9 2

∵m²＜3，∴m²=

3

2

时，S_max=

2

3

--（14分）

点评：待定系数法是解决椭圆标准方程的关键，直线与圆锥曲线联立，是解决弦长问题的常用方法．