Question

已知在△ABC中，AC=3，BA=4，BC=5，⊙O₁是△ABC的内切圆，做⊙O₂与AB，BC，及⊙O₁都相切，作⊙O₃与AB，BC，⊙O₂都相切，如此继续下去，求所有这些圆的面积的和．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：由条件数形结合利用圆的切线性质、直角三角形中的边角关系求得r₁=1，r₂=

11-2 10

9

•r1 同理求得，r₃=

11-2 10

9

•r2，…，r_n=

11-2 10

9

•rn-1，可得 r_n=

(11-2 10 )n-1

9n-1

．再根据无穷递缩等比数列的各项和的定义，求得所有这些圆的面积的和．

解答： 解：如图所示：由题意可得，这些圆的圆心都在角B的平分线上BM上，
⊙O₁与△ABC的边CB、CA、AB的交点分别为D、E、F，则⊙O₁与的半径为r₁=EO₁=DO₁=FO₁，
则由圆的切线性质可得AE=AF，BD=BF，CE=CF，∴BC=BD+CD=BF+CE=AB-r₁+AC-r₁=7-2r₁=5，
∴r₁=1，FO₁=1，BF=4-1=3，tan∠O₁BF=

FO1

BF

=

1

3

．
设⊙O₂的半径为r₂，则O₁O₂=r₁+r₂，O₁G=r₁-r₂，∴O₂G=

O1O22-O1G2

=

(r1+r2)2-(r1-r2)2

=2

r1•r2

．
又O₂G=

O1G

tan∠O1BF

=3O₁G=3（r₁-r₂），∴2

r1•r2

=3（r₁-r₂），解得r₂=

11-2 10

9

•r1．
同理求得，r₃=

11-2 10

9

•r2，…，r_n=

11-2 10

9

•rn-1，
故有 r_n=

(11-2 10 )n-1

9n-1

．
故所有这些圆的面积的和为 S_n=π[r12+r22+r32+…+rn2]，和式中的各项构成以π为首项，以

161-44 10

81

为公比的无穷递缩的等比数列，
故所有这些圆的面积的和为

lim

n→∞

S_n=

π

1- 161-44 10 81

=

81π

44 10 -80

．

点评：本题主要考查圆的切线性质，直角三角形中的边角关系，无穷递缩等比数列的各项和的定义和求法，属于中档题．